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Análise combinatória

Permutação · arranjo · combinação

Permutações possíveis — P(n) = n!

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Quando usar cada um. Permutação: organiza todos os n elementos em ordem (todos entram, a ordem importa). Arranjo: escolhe p dos n elementos e a ordem importa (ex.: pódio de uma corrida). Combinação: escolhe p dos n elementos e a ordem não importa (ex.: um grupo de pessoas).

Escolha a aba correspondente ao seu problema: permutação para organizar todos os elementos em ordem, arranjo para escolher parte deles quando a ordem importa, ou combinação para escolher parte deles quando a ordem não importa. Informe n (o total de elementos) e, quando pedido, p (quantos serão escolhidos) para ver o resultado calculado instantaneamente.

Fórmulas de análise combinatória

  • Fatorial: n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1, com 0! = 1
  • Permutação simples: P(n) = n!
  • Arranjo simples: A(n, p) = n! ÷ (n − p)!
  • Combinação simples: C(n, p) = n! ÷ [p! · (n − p)!]
  • Permutação com repetição: n! ÷ (a! · b! · …)

Exercícios resolvidos de análise combinatória

Permutação: quantos anagramas tem a palavra AMOR? P(4) = 4! = 24. Arranjo: de quantas formas 10 corredores podem ocupar os 3 lugares do pódio? A(10, 3) = 10·9·8 = 720. Combinação: de quantas formas escolher uma comissão de 3 pessoas entre 10? C(10, 3) = 120. Os valores já preenchidos na calculadora (n = 5, p = 2) dão P(5) = 120, A(5, 2) = 20 e C(5, 2) = 10.

Princípio fundamental da contagem

Se uma escolha pode ser feita de m maneiras e, para cada uma, outra pode ser feita de k maneiras, o total é m · k. Todas as fórmulas acima derivam desse princípio.

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Perguntas frequentes

Qual a diferença entre arranjo, combinação e permutação?
Nos três, a pergunta é "de quantas formas posso organizar ou escolher elementos". A permutação organiza todos os elementos em ordem. O arranjo escolhe parte dos elementos e a ordem importa (AB é diferente de BA). A combinação escolhe parte dos elementos e a ordem não importa (AB é igual a BA).
Quando usar cada um: combinação ou arranjo?
Use arranjo quando a posição faz diferença — como definir 1º, 2º e 3º lugar de um pódio. Use combinação quando só importa quem foi escolhido, não a ordem — como formar um grupo de trabalho ou uma comissão.
Qual a fórmula da permutação, do arranjo e da combinação?
Permutação: P(n) = n!. Arranjo: A(n,p) = n! ÷ (n − p)!. Combinação: C(n,p) = n! ÷ (p! × (n − p)!), onde n é o total de elementos e p é quantos serão escolhidos.
O que significa o símbolo de fatorial (!)?
n! (lê-se "n fatorial") é o produto de todos os números inteiros positivos até n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1.
O que é análise combinatória?
É a parte da matemática que ensina a contar as possibilidades de agrupar ou ordenar elementos, sem listá-las uma a uma.
Como resolver análise combinatória?
Pergunte se a ordem importa e se todos os elementos entram. Todos entram e a ordem importa: permutação. Escolhe parte e a ordem importa: arranjo. Escolhe parte e a ordem não importa: combinação.
O que é o princípio fundamental da contagem?
Se um evento ocorre de m maneiras e outro, independente, de k maneiras, os dois juntos ocorrem de m · k maneiras.
Qual a fórmula da permutação com repetição?
P = n! ÷ (a! · b! · …), em que a, b… são as quantidades de elementos repetidos. Os anagramas de ARARA são 5! ÷ (3! · 2!) = 10.