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Sistema linear

2×2 · 3×3 · Cramer · SPD, SPI, SI

x +y +z=
x +y +z=
x +y +z=

Classificação do sistema

—

Método. Quando o determinante D da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o sistema é possível e determinado, e cada incógnita vale Dincógnita ÷ D (regra de Cramer). Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma), o que se decide comparando o posto da matriz dos coeficientes com o da matriz completa.

Digite os coeficientes de cada equação e o termo independente. A calculadora resolve o sistema pela regra de Cramer e classifica o resultado como possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Para saber mais sobre o determinante usado no método, veja a calculadora de determinante.

Como resolver um sistema linear

Um sistema linear é um conjunto de equações do 1º grau com as mesmas incógnitas. Os métodos mais usados são substituição, adição e a regra de Cramer, que esta calculadora aplica. Para a regra de Cramer, calcule o determinante D dos coeficientes; se D ≠ 0, cada incógnita é xi = Di ÷ D, em que Di troca a coluna da incógnita pelos termos independentes.

Exercício resolvido de sistema linear

Resolva x + y = 5 e x − y = 1. Somando as equações: 2x = 6, logo x = 3 e y = 2. O sistema 3×3 já preenchido (2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3) tem solução única x = 2, y = 3 e z = −1: basta substituir para conferir (4 + 3 + 1 = 8).

Como classificar um sistema linear

Compare o posto da matriz dos coeficientes com o da matriz completa. Postos iguais ao número de incógnitas: possível e determinado (SPD). Postos iguais, mas menores que o número de incógnitas: possível e indeterminado (SPI). Postos diferentes: impossível (SI).

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Perguntas frequentes

Como resolver um sistema linear?
Os métodos mais comuns são substituição, adição (eliminação) e a regra de Cramer, que usa determinantes: cada incógnita é o determinante da matriz com a coluna correspondente trocada pelos termos independentes, dividido pelo determinante dos coeficientes.
O que é um sistema possível e determinado (SPD)?
É um sistema com exatamente uma solução. Acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.
O que é um sistema possível e indeterminado (SPI)?
É um sistema com infinitas soluções, em que as equações são dependentes entre si. O determinante dos coeficientes é zero e o sistema não se contradiz.
O que é um sistema impossível (SI)?
É um sistema sem solução, em que as equações se contradizem — por exemplo, x + y = 2 e x + y = 5. O determinante dos coeficientes é zero e os termos independentes não acompanham a dependência.
O que é um sistema linear?
É um conjunto de equações do 1º grau com duas ou mais incógnitas, que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Exemplo: x + y = 5 e x − y = 1.
Como resolver sistema linear 3×3?
Pode-se usar escalonamento (eliminação de Gauss) ou a regra de Cramer, calculando quatro determinantes 3×3. Esta calculadora resolve pelo método de Cramer e classifica o sistema.
O que é a regra de Cramer?
É um método que expressa cada incógnita como uma razão de determinantes: x = D_x ÷ D, y = D_y ÷ D, z = D_z ÷ D. Só funciona quando D, o determinante dos coeficientes, é diferente de zero.
Como saber se um sistema linear tem solução?
Se o determinante dos coeficientes é diferente de zero, há solução única. Se é zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, o que se decide comparando os postos das matrizes.
Qual a diferença entre sistema de equações do 1º grau e sistema linear?
São a mesma coisa para equações com expoente 1: um sistema de equações do 1º grau é um sistema linear. O termo "linear" é mais usado quando há três ou mais incógnitas ou no estudo de matrizes.