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Determinante de matriz

2×2 · 3×3 · 4×4 · Sarrus · Laplace

Determinante

0

Escolha o tamanho da matriz, preencha os elementos e veja o determinante calculado na hora, junto com a informação de que a matriz é inversível ou singular. Para matrizes 2×2 e 3×3 a calculadora usa a fórmula direta e a regra de Sarrus; para 4×4, o teorema de Laplace.

Como calcular o determinante de uma matriz

2×2: det = a·d − b·c (diagonal principal menos diagonal secundária). 3×3: use a regra de Sarrus, somando os produtos das três diagonais principais e subtraindo os das três secundárias. 4×4: use o teorema de Laplace, expandindo por uma linha ou coluna em determinantes 3×3 com sinais alternados.

Exercício resolvido: determinante 3×3

Para a matriz [[2, 1, 3], [0, 4, 1], [5, 2, 1]] (a já preenchida): diagonais principais 2·4·1 + 1·1·5 + 3·0·2 = 8 + 5 + 0 = 13; diagonais secundárias 3·4·5 + 2·1·2 + 1·0·1 = 60 + 4 + 0 = 64. Determinante = 13 − 64 = −51. Na matriz 2×2 [[2, 1], [0, 4]] o determinante é 2·4 − 1·0 = 8.

Propriedades úteis

O determinante muda de sinal ao trocar duas linhas, vale zero se há linhas proporcionais ou uma linha nula, e det(A·B) = det(A) · det(B). Para a matriz inversa, det(A⁻¹) = 1 ÷ det(A), o que só existe quando det(A) ≠ 0.

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Perguntas frequentes

Como calcular o determinante de uma matriz 2×2?
Multiplique os elementos da diagonal principal e subtraia o produto dos elementos da diagonal secundária: para a matriz [[a, b], [c, d]], det = a·d − b·c. Exemplo: [[1, 2], [3, 4]] tem determinante 1·4 − 2·3 = −2.
O que é a regra de Sarrus?
É um atalho para o determinante de matrizes 3×3: repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz, somam-se os produtos das três diagonais descendentes e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais ascendentes. Só funciona para matrizes 3×3.
Como calcular o determinante de uma matriz 4×4?
Use o teorema de Laplace: escolha uma linha (ou coluna), multiplique cada elemento pelo seu cofator — o sinal alternado vezes o determinante da submatriz 3×3 que sobra ao remover a linha e a coluna do elemento — e some os resultados. A calculadora faz esse processo automaticamente.
O que significa o determinante ser zero?
Uma matriz com determinante zero é chamada de singular: ela não tem inversa, e suas linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Já uma matriz com determinante diferente de zero é inversível.
O que é o determinante de uma matriz?
É um número associado a uma matriz quadrada que indica, entre outras coisas, se ela é inversível: determinante diferente de zero significa que a matriz tem inversa.
Como calcular determinante de matriz 3×3?
Pela regra de Sarrus: some os produtos das diagonais principais e subtraia os produtos das diagonais secundárias. A calculadora mostra o resultado direto.
Qual o determinante da matriz inversa?
det(A⁻¹) = 1 ÷ det(A). Por isso, uma matriz com determinante zero não tem inversa.
Para que serve o determinante?
Para saber se uma matriz é inversível, resolver sistemas lineares pela regra de Cramer e calcular áreas e volumes em geometria analítica.