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Geometria analítica

Distância · ponto médio · equação da reta

Distância entre A e B

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Fórmula. d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], vinda do teorema de Pitágoras no plano cartesiano.

A geometria analítica descreve pontos e retas por meio de coordenadas no plano cartesiano. Use as abas para calcular a distância entre dois pontos, o ponto médio de um segmento, a equação da reta que passa por dois pontos (nas formas reduzida e geral) ou a distância de um ponto a uma reta. Para o caso particular de um triângulo retângulo, veja também o teorema de Pitágoras.

O que é geometria analítica

A geometria analítica estuda pontos, retas e figuras usando coordenadas no plano cartesiano, transformando problemas geométricos em contas de álgebra. É um conteúdo frequente no ensino médio e costuma aparecer em provas como o ENEM e os vestibulares.

Fórmulas principais

  • Distância entre dois pontos: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
  • Ponto médio: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 ; (y₁ + y₂) ÷ 2)
  • Coeficiente angular: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
  • Equação reduzida da reta: y = mx + n
  • Distância de ponto a reta: d = |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²)

Exercício resolvido de geometria analítica

Qual a distância entre A(1, 2) e B(4, 6)? d = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5 (exemplo da primeira aba). E a reta por A(1, 2) e B(3, 8)? m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 3 e n = 2 − 3·1 = −1, logo y = 3x − 1; na forma geral, −6x + 2y + 2 = 0, equivalente a 3x − y − 1 = 0.

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Perguntas frequentes

Qual a fórmula da distância entre dois pontos?
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. Ela vem do teorema de Pitágoras: a diferença entre as abscissas e a diferença entre as ordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.
Como calcular o ponto médio de um segmento?
Calcule a média das coordenadas: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 ; (y₁ + y₂) ÷ 2). O ponto médio fica exatamente a meio caminho entre A e B.
Como achar a equação da reta que passa por dois pontos?
Primeiro calcule o coeficiente angular m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Depois use um dos pontos para achar n = y₁ − m·x₁, e escreva a forma reduzida y = mx + n. A forma geral é ax + by + c = 0, com a = y₁ − y₂, b = x₂ − x₁ e c = x₁y₂ − x₂y₁.
Como calcular a distância de um ponto a uma reta?
Com a reta na forma geral ax + by + c = 0 e o ponto (x₀, y₀): d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²).
O que é geometria analítica?
É o ramo da matemática que descreve figuras geométricas por meio de coordenadas e equações, permitindo calcular distâncias, ângulos e posições relativas com álgebra.
Como calcular o coeficiente angular da reta?
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), a variação de y dividida pela variação de x entre dois pontos da reta. Também é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x.
Qual a diferença entre equação geral e reduzida da reta?
A reduzida, y = mx + n, mostra o coeficiente angular e o ponto onde a reta corta o eixo y. A geral, ax + by + c = 0, serve para qualquer reta, inclusive as verticais.
Como saber se duas retas são paralelas ou perpendiculares?
Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular (m₁ = m₂). Retas perpendiculares têm m₁ · m₂ = −1.
Geometria analítica cai no ENEM?
Sim, é um tema recorrente em matemática no ENEM e em vestibulares, principalmente distância entre pontos, equação da reta e posição relativa de retas.